EQUAÇÕES QUADRÁTICAS (SOMA E PRODUTO) II

EQUAÇÕES QUADRÁTICAS (SOMA E PRODUTO) II

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RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES QUADRÁTICAS (POR SOMA E PRODUTO): JUSTIFICATIVA!

Aqui justificamos o processo resolutivo apresentado na nota anterior para resolver equações quadráticas.

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Para a = 1:

Considere o problema:

"Determine dois números reais (que podem até ser iguais) tais que a sua soma (real) é S e o seu produto (real) é P"

Se chamarmos qualquer um dos dois números de x, o outro tem que ser S ─ x, uma vez que somam S.

Como o produto dos dois números é P, obtemos:

x * (S ─ x) = P

Sx ─ x^2 = P

x^2 ─ Sx + P = 0 (I).

(I) é uma equação quadrática na nossa notação com a = 1, b = ─S e c = P:

x^2 + bx + c = 0.

Como todos os passos tomados podem ser revertidos, resolver a última equação é o mesmo que obter dois números reais (os quais podem até ser iguais ─ no caso de raiz dupla) de soma ─b e produto c.

O que justifica o caso a = 1.

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Para a qualquer:

Multiplicando os dois membros de (I) por a (real não nulo) e pondo a = a, b = ─a*S e c = a*P:

ax^2 + bx + c = 0 (II).

Resolver (II) é o mesmo que obter dois números reais que somam ─b/a e que multiplicados resultam c/a. O que está correto, mas não é usualmente prático.

Vamos multiplicar ambos os membros de (II) por a e fazer a transformação y = a*x (x = y/a), obtendo:

y^2 + by + ac = 0 (III).

(III) é resolvida obtendo dois números reais de soma ─b e produto a*c. Esses são os valores de y, os correspondentes valores de x são obtidos dividindo tais números por a.

O que justifica o caso geral.

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EQUAÇÕES QUADRÁTICAS (SOMA E PRODUTO) II